小题大做

------关于S=1+2+3+4+……+(n-1)+n的求证及应用探讨

◎    青岛五十七中学  青岛市市南区杜海鹰

【内容摘要】

由习题引入S=1+2+3+4+……+(n-1)+n从抽象和具体形象两个角度分别用五种方法进行了证明。突出了数学建模在证明中的优越性，适合初中学生的年龄特点，有力于学生思维的渐进发展。由法三进一步解决了公式1^2+2^2+3^2+4^2+……+n^2=1/6n(n+1)(2n+1)的初等证明。

【关键词】 课程改革；建模；拆项法  

根据课程改革的要求，我们应该创造性的使用现行教材，即以现行教材作为基本素材，在此基础上加以改造，扩充、丰富，以更加符合学生年龄、心理特征的方式呈现教学内容，从学生的知识背景，思维方式出发组织教学。

北师大版数学教材九年纪下册有一题:你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第6个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？

          ……

老师显然可以加一问：第n个图形有几个小圆圈？通过老师的引导学生很容易得出第1个图形有1个,第2个图形有1+2个,第3个图形有1+2+3个,第4个图形有1+2+3+4个,这样第n个图形中小圆圈的个数为：1+2+3+……+(n-1)+n，结果是多少呢？现教材并没有它的证明，我想显然是因为它的证明对初中学生还是太抽象了。有没有适合初中学生，更直观，更形象，更易于理解的证法呢？下面就将我的几点想法阐述如下，在此之前我们不妨看看一般的证法。

一般证明：法一，（分类讨论）当n为奇数时，将左右对称的数字分别相加，如1+n、2+(n-1)、3+（n-2）、…….最中间的数为n+1/2,各组之和均为n+1，共有n+1/2-1即n-1/2组，则S=（n+1）*(n-1/2)+(n+1)/2=n*(n+1)/2。

当n为偶数时，仍然将左右对称的数字相加，恰有n/2对，每对之和仍为n+1，则S=n/2*(n+1)=n*(n+1)/2。

法二，倒序相加法。简述如下：令S1=1+2+3+….+(n-1)+n;S2=n+(n-1)+…+3+2+1;则S1+ S2=n*(n+1)；所以S=

法三，拆项法。简述如下：

拓展一：

S=1*2+2*3+3*4+4*5+……+(n-1)*n=?

显然由法三，立刻可得：

大家不妨以此法试解一下：

1*2*3+2*3*4+3*4*5+……+（n-2）(n-1)n=？

拓展二：一个高中公式的初等证明

1^2+2^2+3^2+4^2+……+n^2=1/6n(n+1)(2n+1)

证明：

1^2+2^2+3^2+4^2+……+n^2

=1*1+2*2+3*3+4*4+……+n*n

=1*2-1+2*3-2+3*4-3+4*5-4+n(n+1)-n

=1*2+2*3+3*4+4*5+……+n(n+1)-(1+2+3+4+……+n)

=1/3(n-1)n(n+1)-1/2n(n+1)

=1/6n(n+1)(2n+1)

以上方法大多对初中学生较为抽象，现构造一个几何模型加以证明：

法四：在一条线段上任意标出n-1个点，则包括两个端点在内共有n+1个点，则应共有多少条线段？

  过A点的线段有n条       

                               ......

A  B   C     D       ......                    E  F G

  过B点的线段有n条     

上图中的线段AB被计算了两遍，按以上的数法，过每一点都可连出n条线段，但每一条都被计算了两遍，因为共有n+1个点，故上图中共有线段：条。

 如果换一种数法如下图：

  过A点的线段有n条     

   A      B       C        D                                      E      F    G

  过B点的线段有n-1条     

如上图所示，以此类推，过C点的线段有n-2条，过D点的线段有n-3条……最后过E点的线段有2条，过F点的线段有1条，过G点的线段有0条。图中共有线段的条数可列式为0+1+2+3+4+……+(n-1)+n 。

  综上所述：1+2+3+4+……+(n-1)+n=。以上证法形象直观，学生容易理解。

  法五： 我们不妨再构造另一种模型，利用对称的思想得到如下图形：

整个图形构成了平行四边形，利用面积公式可得圆圈的总个数为：n(n+1).其一半即为，故公式可证。

这个公式的应用在于如何将有关的实际问题模型化为该公式。我们不妨看看这个例子：从大小相同编号为1、2、3……n、n+1的n+1个球中，任取两个，共有多少种取法？用以上公式即可解决，这实际就是以上数线段的问题。又如：将一副牌（除大、小王以外的52张），洗好后接连抽出2张（不分次序），两张均为红心的概率是多少？显然一共有中抽法，抽出的两张牌为红心的有中抽法。故概率为： /=。因为不分次序，故符合有52个点和有13个点的线段的模型。类似的还有两两握手等问题，不再一一列举。

在新课程改革中我们应该创造性的处理教材,深入挖掘习题的价值，根据学生的特点,运用恰当的方式,激发学生的学习热情,拓展学生的思维，使学生能够体验到数学的内在美。

小题大做

------关于S=1+2+3+4+……+(n-1)+n的证明及深入探讨