关于初中几何证明题分析思路的几点思考

                 ◎   陕西省定边县教师进修学校     宋  青                 

摘要：在全面倡导素质教育的今天，初中几何在提高学生的基本技能，培养学生的逻辑思维能力有着非常重要的作用。对于初中学生来说，在初中几何学习过程中，教学水平会明显出现两极分化现象。这种分化不仅仅是由学生的智力造成的，而与几何教学工作有着很大的关系。研究初中几何教学工作的有关问题，对防止两极分化，提高初中数学教学质量有着重要意义。其中，平面几何是初中数学课程的重要组成部分。随着素质教育的深入与课程改革的实施，初中几何课程发生了很大的变化。从其内容呈现形式上看，新课程将初中几何内容分为图形认识、图形与变换、图形与坐标、图形与证明四大模块；从其研究方法上看，新课程将初中几何分为实验几何与论证几何。下面结合自己的教学实践研究，总结、提炼、概括出论证几何教学的一些基本方法。

关键词：几何证明题；已知条件图形化；分析过程综合化；复杂图形简单化

方法一：文字语言符号化

几何教学有三种不同形式的语言即图形语言、文字语言及符号语言。所谓文字语言符号化就是文字语言向符号语言转化。图形语言形象、直观，能帮助学生认识问题和理解问题；文字语言抽象、概括，对图形本身及图形中所蕴含的结论能精确地予以的描述、解释，对几何的定义、公理、定理、命题等内容能精确地予以表达，而符号语言则是对文字语言的简化和再次抽象，具有更强的抽象性，在三种语言中符号语言是几何初学者最难掌握的一种，也是逻辑推理必备的能力基础。由于三种语言的特点不同，在几何教学中各自发挥的作用也不同。教学中不仅要让学生建立三种几何语言，还要培养学生对三种语言相互转化的能力。目前，初中阶段对于推理能力的培养要求是循序渐进的， 为了让学生更好地掌握“符号表示（如图一）

  ∵OC是∠AOB的平分线

  ∴∠AOC =∠BOC（∠AOC = 1/2∠AOB，∠BOC = 1/2 ∠AOB）；

由于定义具有可逆性，既可以正用也可以反用，

也可以表示为：

∵∠AOC =∠BOC（∠AOC =1/2∠AOB，∠BOC = 1/2∠AOB

∴OC是∠AOB的平分线

图1

在比如角平分线的性质（如图二），由于角的平分线性质没有写成命题的一般形式，所以学生在将其符号化时，往往会出现表示“距离”的条件被学生忽视的现象，这时教师应及时引导、启发学生分析角平分线性质的内容，将比较隐蔽的条件“距离”显性化，所以将角的平分线的性质符号化时条件不是一个而是三个，其表达形式应为：

∵点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PD⊥OA，OP⊥OB，

∴PD=PE。

   这种文字语言符号化的意识应贯穿几何教学的始终，尤其到初中阶段的后期涉及到命题的证明，这种将文字语言转化为符号语言的能力就更显得重要。

方法二：已知条件图形化

    所谓已知条件图形化就是用各种不同的符号将已知条件在图形中直观地表示出来。相当一部分学生存在“看图忘条件”的现象，特别是处理较为复杂的问题时这种现象更为突出。为了让学生能很好地将题和图有机统一，教学中可采用各种不同的符号将已知条件在图形中表示出来，使条件更直观，实现条件与图形的有机融和，从而克服“看图忘条件”的现象发生。比如：

已知：如图三D在AB上，E在AC上，AB=AC,DB=DC.求证：AD=AE.

                               图3 

通常相等的线段可以分别用一杠、两杠、三杠等记号对应表示出来，相等的角可以分别用点、叉、弧等记号对应表示出来，两直线平行可以用同向箭头对应表示出来，两直线互相垂直可以用直角符号对应表示出来，等等。教学中可以用自己特有的记号将已知条件在图形中直观地表示出来，不仅起到使条件直观的作用，同时也起到暗示提醒的作用，有利于问题的有效解决。

 方法三：分析过程综合化

所谓分析过程综合化就是指分析问题时从已知出发、从结论入手、结合图形进行问题解决。在几何论证问题的分析过程中通常使用两种逻辑思维方法即综合法和分析法。所谓综合法是指从问题的条件出发，寻求其结论的方法。综合法的特点是从已知看可知，逐步推出未知；所谓分析法是指从问题的结论出发，寻求其成立条件的方法。分析法的特点是从未知看需知，逐步靠近已知。对于一些思维过程比较简单的问题，采用分析法或综合法都可以顺利解决问题，但对于思维过程相对复杂的问题，单一地使用其中的一种方法都显得苍白无力，只有将二者结合起来，从已知出发、从结论入手、结合图形，寻找出问题的一个接洽点，进而达到解决问题的目的。比如：已知：如图4，分别以△ABC的边AB、AC为直角边向△ABC外部作等腰直角三角形△ABD和△ACE，点P、M、N分别为BC、BD、EC的中点．

求证：⑴PM=PN；⑵PM⊥PN.

问题⑴如果从已知条件“△ABD和△ACE等腰直角三角形”出发就可以直接得到AB=AD，AC =AE及∠BAD =∠CAE=90°结论，再根据已有的解题经验，由AB =AD，AC =AE及∠BAD=∠CAE=90°，又显而易见地能得到△ADC≌△ABE，从而可以得到△ADC和△ABE的对应边相等、对应角相等。这道题的问题⑴如果从结论PM=PN入手，实际上，就是从未知看需知，已知PM和PN分别是只要△BDC和△CBE的中位线，只须证CD =BE即可。从已知条件出发我们可以得到CD =BE，从结论入手我们需要CD = BE，这样我们就找到了问题的接洽点，使这个问题得到顺利解决．在分析问题时，采用分析过程综合化的策略，不仅可以使学生掌握数学基本的思维方法，同时培养了学生的思维能力，提高了学生解决问题的水平，问题⑵略．

方法四：复杂图形简单化

所谓复杂图形基本化就是将复杂的几何图形转化为一些基本图形。几何教学离不开几何图形，几何问题中所涉及的几何图形有基本图形和复杂图形，而这些复杂图形又都是由一些基本图形复合而成。不管遇到什么样复杂的几何问题，只要能够善于发现基本图形，并熟练掌握这些基本图形的构成、形式及其性质，这样就能使模糊问题清晰化、复杂问题简单化。几何中每个定义、定理、公理都对应着一个基本图形，这些最基本的图形一定要掌握，还有很多基本图形，利用这些基本图形及其性质能比较有效地解决一些复杂问题，采用复杂图形基本化的策略，一般都会取得事半功倍的效果。

  总之，论证几何是初中数学教学的难点，要使学生能够学好论证几何，教师在教学中就要认真研究论证几何的教学策略，只有教会了学生正确的解题思路才能学好数学，“授之与鱼，不如授之与渔”。