谈“平面直角坐标系”引入方法

——初中数学课堂教学实录

◎   四川省沐川县教师进修学校  王明贵

平面直角坐标系是研究函数最重要的工具，如何结合学生日常生活经验和已有的知识经验，让学生去“发现”或“发明”这个工具，对启迪学生思维，理解后学知识是相当有益的。

在某地，国道213线上有个小地名，叫“101”，这个学生都知道。根据学生的这个生活常识，我提出了第一个问题：为什么别人一说“101”大家就知道是哪里呢？学生思考后答：这个地名应该是相对于某一个起点来说的，也就是说，另外有个地方一定叫“0”或叫“100”等。听了学生的回答，我画了如下的图1：

图1

学生一看，立即想到了数轴，并且很容易得出一个结论：在数轴上，要表示一个点的位置，只需要用一个数就行了，并且一个数对应一个点的位置，一个位置对应唯一的一个数。

接着我提了第二个问题：如图2，如果有另一个地点A，只用一个数还能准确并且唯一地表示出它的位置吗？

                 图2                                图3

学生思考并讨论约2分钟后，有个学生提出如下办法：过点A作数轴的垂线段（如图3），用这条垂线段的长及垂足在数轴上对应的数来表示。我用了一个估计数40来表示这条垂线段的长，并写下“46，40”这样两个数。【这个学生得到了一个重要的处理方法：这时点A的位置应该用两个数来表示】我问：这两个数能唯一确定点A的位置吗？立即就有另一个学生说：不行，如果作点A关于数轴的对称点A′（如图4），那点A′的位置也是这两个数。

图4

【到此，我非常高兴，学生的思维激活了，并且他们知道如何评价自己的数学认识了】那如何解决这个问题呢？我提示学生，对于这个问题，“46，40”这对数并不能唯一地确定点A的位置，因为点A′的位置也可以用这对数来确定，但这样的情形，不涉及第三个点了，也就是说，“46，40”按上面的思考，至多涉及点A和点A′，不再涉及第三点。据此我提出了第三个问题：可不可以考虑以这条数轴为参照，点A和点A′的相对方向呢？

 学生七嘴八舌的展开了讨论，有的声音还蛮大的，我没有制止，只是在讲台上微笑着注视他们。大约过了3分钟，一学生（这个学生平时的表现并不是很优秀）大声的把我叫到他面前说：我有办法了，我用“46，40”表示点A，用“46，-40”表示点A′，不就把它们区别开了？并且两个数都能唯一地确定它们的位置了。我没有急于肯定他的想法，问他：你是怎么想到用“46，-40”来表示点A′的位置的呢？他答：点A在数轴的上边，点A′在数轴的下边，它们到数轴的距离一样，但它们的方向不同，上面的点A我用40表示，下面的点A′我用-40表示，就可以区别它们了。我非常兴奋，对他翘起了大指姆！

我让全班学生停止讨论，让那位同学上讲台谈了他的想法，得到全体同学的热烈掌声！我随即提出第四个问题：上面我们分别用数对“46，40” “46，-40”唯一地表示出了点A，A′的位置，还可以发现，这两个点在数轴上对应的数都是46，而40，-40恰好是一对互为相反数的数，是否可以再引入一条数轴呢？

学生又展开了自由讨论【只要学生进入了思维状态，我允许学生在课堂上自由行动】，不久，一学生说她有办法了，给我讲了她的做法：过垂足再竖着画一条数轴（如图5），上面的点A对应的就是40，下面的点A′就是-40，这样两个点就区别开了。

图5                            图6

我心里激动万分：同学，你终于建立起属于你自己的“坐标系”了。我表面上不动声色，问她：那你这条竖着画的数轴，原点在哪里呢？它对应的数应该是0才对啊。她想了一会儿，说：那我把它移到横着的数轴的原点去。我又问：怎么移呢？她画出了图6（水平虚线为我所加）。我向她竖起了大姆指！至此，这位同学作出了属于她自己的伟大发明：平面直角坐标系！我让她再认真思考一下这么做的合理性：这样做是不是就可以用一对数唯一地表示出平面上每个点的位置了呢？

后来，我也让她上讲台向全班同学谈了她的想法，同学们再一次热烈鼓掌！我心里也异常高兴。

接下来，我让每个学生画一个坐标系，同时我也在黑板上画了一个标准的平面直角坐标系。画好后，向学生给出“平面直角坐标系、坐标轴（横轴、纵轴）、坐标原点、点的坐标（横坐标、纵坐标）、象限”等相关概念，并给出点的坐标的记法：（a，b）。然后让每个学生以自己所在座位为坐标原点，以他（她）座位所在的行（正方向向右）为横轴，以他（她）所在列（正方向向前）为纵轴，在他（她）所画的坐标系中标出他（她）在本班最要好同学座位的坐标。

这样一来，学生兴致更高了，纷纷动手画图。不到2分钟，每个学生都至少画了2个标有坐标的点。画好后，我叫了两个平时学习最吃力的同学，首先请他们最要好的同学起立（站在原座位不动），再到黑板上我画的坐标系中画出表示这些同学座位的点，并标出其坐标，结果全部正确。

接着，我又分别以两个同学所在的座位作为坐标原点，在四个象限分别画了一个标有坐标的点，让座位在这些点的同学起立，结果也全部正确。

随后，我提了本节课的最后一个问题：用两个数可以唯一地表示出一个点的位置，这两个数的顺序可以任意交换吗？有了前面的认识，学生很容易就得出了肯定的结论：不能！并以上面座位为例作了说明。

最后，师生共同总结如下：

1、生活中充满了数学，如果我们以数学的眼光去观察，去思考，我们就能有所发现，有所发明，有所创造；

2、在同一直线（数轴）上的点，它们的位置只需要一个数就能唯一确定，即这时它们的坐标用一个数就行了。在画好平面直角坐标系的平面上，任何一个点的位置都需要也只需要一对有序数对就能唯一确定；

3、平面上一个点的坐标，与坐标系的选择有关，同一个点，坐标系选择不同，它的坐标也不一样（上面每个同学标其要好同学的坐标）；

4、学生畅所欲言，谈谈自己本节课的收获。有一位中下生发言如下：我以前一直觉得数学很枯燥乏味，很多时候学数学都是被迫（动）学的，（通过）这节课（的学习）我发现，数学很有趣很好耍（玩），数学就在我们身边……

留给学生的课外思考：

1、在平面直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有什么特点？在各个象限内的点的坐标，符号是怎样的？

2、如果要使点（2-1,1-）分别在四个象限内，那么分别应该在什么范围内取值？通过思考，你发现这个点不可能出现在哪个象限？如果这个点在坐标轴上呢？

3、你认为下面的图形中，变量、之间具有函数关系的有哪些？

       （1）               （2）             （3）             （4）