《判别式“△”的应用》
◎ 贵州省道真中学 王更新
判别式“△=b -4ac”反映了实系数一元二次方程ax +bx+c（a 0）实根的性质与方程系数之间的内在联系，在求函数的值域和最值、确定参数和讨论参数的取值范围，解证等式和不等式问题中都有广泛的应用。
1 求函数的最值和值域
例1 已知 ， 为方程x -2ax+6+a=0的两个实根，求( -1) +( -1) 的最小值。
解 由韦达定理有： + =2a， =6+a，又△= （-2a） -4（6+a） 0，
a 3，或a -2.
( -1) +( -1) = -2a+1+ -2 +1
=（ + ） -2（ + ）-2 +2
=4（a- ） - （a 3，或a -2）
当a=3时，( -1) +( -1) 的最小值是8.
例2 求函数y= 的值域.
解 由y= 得
(y-1)x +2(y+1)x+3(y-1)=0
当y-1=0,即y=1时,x=0.
当y-1 0时,
x R
△=4(y+1) -12(y-1) 0,
解得2- y 2- ,且y 1.
y [2- ,2- ]
2 确定参数和讨论参数的取值范围
例3 已知函数y= 的值域为[-1,4],求a,b的值.
解 由y= 得
y(x +1)=ax+b
yx -ax+(y-b)=0
因为x有解,所以△=(-a) -4y(y-b) 0
a -4y +4yb 0
即4y -4by-a 0
上面不等式的解为-1 y 4
所以y=-1,y=4是一元二次方程4y -4by-a =0的解
由韦达定理得-1+4=- =b,-1×4=-
解得b=3,a=
例4 当m为何值时,方程x -4xy+my -x+(3m-10)y-2=0(﹡)
表示两条直线?
解 原方程化为关于x的一元二次方程
x -(4y+1)x+my +(3m-10)y-2=0
△ =4(4-m)y +12(4-m)y+9
要使方程(﹡)表示两条直线,则方程(﹡)左边能分解成两个一次因式的积.
△为完全平方式.
当m=4时,△=9,合符题意;
当m 4时,△要为完全平方式,△ =[12(4-m)] -4×4(4-m)×9=0,解得m=3.
m的值为3或4.
例5 设实数a,b,c满足

求a的取值范围.
解 由(1)得bc=a -8a+7 (3)
将(2)整理,得:(b+c) =bc+6a-6
把(3)代入,得: (b+c) =(a-1)
即b+c= (a-1) (4)
由(3)、（4）知b、c是关于t的方程t (a-1)t+（a -8a+7）=0的两个实根
△
[ (a-1)] -4（a -8a+7） 0
解得1 a 9.
3 证明等式和不等式
例6 已知实数a,b,c满足a=6-b,c =ab-9,求证a=b
证明 由条件知a+b=6,ab=c +9
于是a,b是方程t -6t+( c +9)=0的两实根.
所以判别式△=(-6) -4(c +9) 0,从而c 0,但c 0,从而△=0,所以方程有两个相等实根.
因此a=b.
例7 求证x -2xy+2y +2x-4y+3﹥0
证明 不等式左边是一个关于x或关于y的二次三项式,不妨令
f(x)=x +2(1-y)x+2y -4y+3
△=4(1-y) -4(2y -4y+3)=-4(y-1) -4
△＜0恒成立.
f(x)＞0
故x -2xy+2y +2x-4y+3﹥0
4 在解析几何中的应用
例8 给定双曲线:x - =1,问过B(1,1)能否作直线l与它交于Q ,Q 两点,且B为Q Q 的中点?
解 设Q (x ,y ),Q (x ,y ),则

两式相减,得:
(x -x )(x +x )- (y -y )(y +y )=0
由中点坐标公式得:x +x =2, y +y =2
所以k= =2
由点斜式得直线l的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0
但这条直线不存在.
因为由 得2x -4x+3=0
由△=(-4) -4×2×3=-8＜0,知方程组无实数解.
所以所求直线与双曲线不相交,故过B(1,1)不能作直线l,使直线l与双曲线交于Q ,Q 两点,且B为Q ,Q 的中点.