聚焦初中《有关三角形全等的几何证明题》思维模式

◎    陕西省大荔县洛滨中学    冯  娟

数学以实践为源头，又以实践为终结，扎实的数学理论和灵活的数学思维，都是为将数学知识运用于解决问题中，形成合理的思维模式。初二，学生学习有关三角形的几何证明题，做题的时候，我发现许多学生不能把理论和实际操作有效的结合，证明思维混乱，有的学生甚至摸不着头脑，不知从何下手。因此，在实际教学中，引导学生的数学思维，探寻并总结解决问题的方法，培养学生的数学思维模式尤为重要。本文仅对初中二年级下册《有关三角形全等的几何证明题》思维模式作一探讨和总结。

一、正向思维：分析题目中的每一个重要条件，产生结果，寻找关系入口，逼近问题。

1.已知线段相等，怎样用

例1：已知如图1，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．求证：∠ADE=∠AED．

分析：已知线段AB=AC，标在图上观察（数形结合），看这两条线段集中在同一个三角形中，那么等边推等角，得到∠B=∠C。已知线段BD=CE，标在图上观察，这两条线段没有集中在同一个三角形中，那么找三角形，证明ΔABD和ΔACE全等。得到AD=AE，AD和AE这两条线段在同一个三角形中，等边推等角得到∠ADB=∠AEC，再去推导∠ADE=∠AED。

2已知线段的垂直平分线，怎么用

例2：如图2，在△ABC中AB=AC，∠BAC=120°，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F，交AB于E。求证：CF=2BE。

分析：①、AB=AC，∠BAC=120°知道∠B=∠C=30°，这里许多学生一下子可能考虑不到AB=AC跟∠BAC=120°之间的关系，教师可引导学生逐步分析、发现、总结；②、EF为AB的垂直平分线，优先考虑特征，连接AF，则AF=BF，一天线索走到底，那么∠BAF=∠B=30°，则∠FAC=120°-30°=90°，∠AFB=120°、∠AFC=60°；在直角三角形△AFC中，∠C=30°，敏感30°所对的直角边等于斜边的一半，因此CF=2AF,即CF=2BF。

3已知角的平分线，怎么用

已知角平分线，要么“走定义”，要么“走特征”。定义：给两个小角“起名字”∠1，∠2等等，则两个小角相等，等于大角的二分之一。特征：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

二、逆向思维：从所求或所证的问题出发，推导分析出一条或几条线路，向已知条件靠拢。

1求证两条线段相等，怎么操作

    基本方法：若求证的两条线段没有在同一个三角形中，那么可以围绕求证的两条线段找三角形，证明三角形全等。若求证的两条线段，在同一个三角形中，也可通过证明等腰三角形来说明这两条线段相等。

其他方法：求出这两条线段的长度；或借助“中间关系”，例如找第三条线段，证明这两条线段都与第三条线段相等。或借助“方向”，例如借助要求证的这两条线段所在的“方向”，证明还存在两对其他线段上的相等关系，通过“加”或“减”再证明这两条线段相等。

2求证两个角相等，怎么操作

基本方法：若两个角没有在同一个三角形中，那么围绕这两个角找两个三角形，证明全等。若两个角在同一个三角形中，那么也可证明等腰三角形来求证这两个角相等。

其他方法：求出这两个角的度数；或借助“中间关系”，例如找第三个角，证明这两个角都与第三角存在关系。或借助“平行关系”由两直线平行推导“三类角”，例如两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等。

例3：如图，D是等边ΔABC的边AC上的一点，且BD=CE，∠ABD=∠ACE。求证：⑴、ΔADE是等边三角形。⑵、∠DBC=∠DEC。

分析（1）：已知等边ΔABC，则AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=∠CBA=60°；已知BD=CE，标在图上观察，这两条线段没有在同一个三角形中，找ΔABD和ΔACE探索全等；已知∠ABD=∠ACE，标在图上观察，这两个角没有在同一个三角形中，则还是指向证明ΔABD和ΔACE全等。用SAS证明全等，得到AD=AE，∠BAD=∠CAE=60°；最后证明ΔADE是等边三角形。

（2）：“走关系”重新加工的方法。已知∠ABD=ACE，∠ABD、∠ACE都是60°的一部分，则60°-∠ABD=60°-∠ACE，即∠DBC=∠DEC。

3求证线段的垂直平分线，怎么操作

第一种做法：定义。既证垂直，又证平分。

第二种做法：特征的逆定理。到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

⑷．求证角平分线，怎么操作

第一种做法：定义。证明两个小角相等。

第二种做法：特征的逆定理。到角平分线两边距离相等的点，在这个角的角平分线上。

例4：如图在ΔABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F。求证：AD垂直平分EF。

分析：已知AD平分∠BAC，走定义∠BAD=∠CAD,走特征ED=FD。不论走定义还是走特征，都能证明ΔAED和ΔAFD全等，得到AE=AF，所以点A在线段EF的垂直平分线上。因为ED=FD，所以点D也在线段EF的垂直平分线上，因此AD垂直平分EF。

第二种做法：考虑定义的证明方法。

2.4求证角平分线，怎么操作

第一种做法：定义。证明两个小角相等。

第二种做法：特征的逆定理。在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上（需证明两个这样的点，则这两点确定的线才是角平分线）。

三、综合思维：一边从已知条件出发，一边从题目的问题出发。正向思维和逆向思维的综合运用。

例5：如图，已知点D为等腰直角ΔABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA。⑴求证：DE平分∠BDC；⑵若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD。

正向思维：①等腰直角ΔABC，得到AC=BC，∠BAC=∠ABC=45°标在图上；②∠CAD=∠CBD=15°综合前者结论，得到∠BAD=∠ABD=30°，进而得到AD=BD，找ΔADC和ΔBDC探索全等，得到∠ACD=∠BCD=45°；③CE=CA，得到∠CAD=∠E=15°，CE=BC。

逆向思维：求证DE平分∠BDC，即求证∠BDE=∠CDE。综合思维：利用正向、逆向思维的分析，可单独求出两个角的度数∠BDM=∠BAD+∠ABD=60°；∠CDE=∠CAD+∠ACD=60°，所以∠BDM=∠CDE。求证ME=BD，连接MC，找ΔMEC和ΔBDC探索全等。全等的条件：∠E=∠DBC=15°，CE=CB，CM=DC。即可证明ME=BD。

理论和实践的结合，靠的就是思维。有了合理的思维模式，可收到事半功倍的效果，这样学生就可避免一些盲目、无效的劳动，有的放矢、自觉地运用思维模式解决问题，把学习活动变成一种有目的、有意识、有趣味的活动，使学生善思、乐学，体会数学的情趣。