创设数学问题情境  培养学生综合能力

◎   陕西省渭南市尚德中学    宋晓芳

新高中数学教学大纲明确指出：“在数学教学过程中注重培养学生数学地提出问题、分析问题和解决问题的能力，发展学生的创新意识和应用意识，提高学生数学探究能力、数学建模能力和数学交流能力，进一步发展学生的数学实践能力。”由此可见在高中阶段尤其要注重对学生能力的培养。那么在具体的教学过程中该培养学生的那些能力？笔者在此就自己的浅见谈谈粗略的观点。?

一、在设计问题的过程中培养学生自主学习能力

卢梭曾讲过“教育的问题不在于告诉他一个真理，而在于教他怎样去发现真理”。因此教师不能只给学生“鱼”，而是要给他“渔”——捕鱼的技能、方法。在教学过程中，怎样授之以“渔”呢?关键在于设法引导学生提出问题。学起于思，思源于疑。有意通过情境激发学生更多的问题，针对这些问题引导他们进行探求，全方位、多角度地提出自己解决该问题的思想、途径、方法，并分析、讨论、推理、归纳。在探求的过程中，潜移默化地培养学生的独立意识和见解，增强他们的自信心，使他们逐步掌握探索真理的科学方法和培养良好的思维品质。

例如在"均值不等式"一节的教学中，可设计如下两个实际应用问题，引导学生从中发现关于均值不等式的定理及其推论． ①某商店在节前进行商品降价酬宾销售活动，拟分两次降价．有三种降价方案：甲方案是第一次打ｐ折销售，第二次打ｑ折销售；乙方案是第一次打ｑ折销售，第二次找ｐ折销售；丙方案是两次都打（ｐ＋ｑ）／2折销售．请问：哪一种方案降价较多？ ②今有一台天平两臂之长略有差异，其他均精确．有人要用它称量物体的重量，只须将物体放在左、右两个托盘中各称一次，再将称量结果相加后除以2就是物体的真实重量．你认为这种做法对不对？如果不对的话，你能否找到一种用这台天平称量物体重量的正确方法？ 学生通过审题、分析、讨论，对于问题①，大都能归结为比较ｐｑ与（（ｐ＋ｑ）／2）2大小的问题，进而用特殊值法猜测出ｐｑ≤（（ｐ＋ｑ）／2）2，即可得ｐ2＋ｑ2≥2ｐｑ．对于问题②，可安排一名学生上台讲述：设物体真实重量为Ｇ，天平两臂长分别为ｌ1、ｌ2，两次称量结果分别为ａ、ｂ，由力矩平衡原理，得ｌ1Ｇ＝ｌ2ａ，ｌ2Ｇ＝ｌ1ｂ，两式相乘，得Ｇ2＝ａｂ，由问题①的结论知ａｂ≤（（ａ＋ｂ）／2）2，即得（ａ＋ｂ）／2≥，从而回答了实际问题．此时，给出均值不等式的两个定理，已是水到渠成，其证明过程完全可以由学生自己完成． 以上两个应用问题，一个是经济生活中的问题，一个是物理中的问题，贴近生活，贴近实际，给学生创设了一个观察、联想、抽象、概括、数学化的过程．在这样的问题情境下，再注意给学生动手、动脑的空间和时间，学生一定会想学、乐学、主动学．

二、在解决问题的过程中培养学生想象能力

数学学习中常用的“猜想”?、“探究”?、“推理”实际上就是“想象”在数学中的具体表现形式。创新思维，它是打破常规，标新立异，能超越传统的习惯思维的束缚而能透过现象看本质的一种高层次的思维，创新思维必须有创造性的想象的参与。教师在教学过程中应协调好学生的思维活动，要千方百计的通过各种手法、手段来激活学生进行想象。

如：a为什么实数时，方程2x2+3x+5-2a=0在上有实数解？

思路分析：受自然现象或社会现象——“方以类聚，物以群分”(1)的启发，可迁移为数学解题中的“变量集中、变量分离”策略(通过联想、类比获得的模糊的建模)。于是，把原方程化为??2x2+3x+5=2a

由于函数与方程都以“等式”的形式表现，这种结构的相通给它们提供了沟通的契机。因此，有：

思路一(建立函数模型，化为函数问题)：

视2a为关于x的函数，问题转化为求函数2a=2x2+3x+5在??上的值域。

“数”与“形”是我们进入数学殿堂的两条主要通道，函数与方程是使两者得以沟通的重要纽带。所以，又有：

思路二(建立函数模型，以进入形的状态)：

设函数y=2x2+3x+5（?）；常函数y=2a

通过考察两个函数图象的关系，使问题获解。

变题训练(进一步迁移)：你能以原题为模型，构造不同于原题内容的问题(三角、几何、应用问题等)，并作出解答吗？

这种开放性的问题为学生想象力的发挥提供了广阔的舞台。从而唤起了他们对数学的高度重视，也激发了他们的能象力和学习数学的热情。

三、在探究问题的过程中培养学生创造能力

《普通高中数学课程标准（实验）》强调：高中课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识．在教学中要用好用活现行教材，着眼于创新素质的培养，把陈述性知识转变为探究性的素材．由“传道、授业、解惑”型的老师向“迷惑、激励、求知”转换．教师的作用不仅仅是为学生“解惑”，有时甚至需要“迷惑”学生，把学生引入“歧途”，然后让他们自己去寻找出路，培养创新思维能力．

例如，在探究直线与平面垂直的判定定理时，可以创设如下师生活动情境来探究判定定理：请同学们拿出一块三角形纸片，过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）．

⑴AD与桌面垂直吗？

⑵如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？

⑶如果不经过A点能否得到折痕DE与桌面所在的平面垂直？

⑷如果我们把折痕抽象为直线，把BD、CD抽象为直线，把桌面抽象为平面，那么你认为保证直线与平面垂直的条件是什么？

⑸将纸片绕直线AD（点D始终在桌面内）转动，使得直线CD、BD不在桌面所在平面内．问：直线AD现在还垂直于桌面所在平面吗？

⑹根据试验，请你给出直线与平面垂直的判定方法．

在课堂教学中，学生始终处于主动探索、主动思考、主动建构意义的认知主体位置，但又离不开教师事先精心设计的教学程序和在探究学习过程中画龙点睛的引导．教师在整个教学过程中讲授得很少，但是对学生建构学习的帮助却很大，充分体现了教师指导作用与学生主体作用的结合。

总之，在课堂教学中，教师应把主动权交给学生，让学生真正成为课堂学习的主人，参与课堂教学，切实从学生的需要出发，培养学生独立思考分析解决问题的能力，学生在自主探索思考的过程中体验到的成功的乐趣，必将为以后的学习和发展奠定坚实的基础。