图形法在代数解题中的应用
◎   陕西省大荔县城郊中学         杨  蓉
摘  要：图形法是一种重要且应用广泛的数学思想方法.某些抽象的代数问题,若能注意的数与形的结合,用图形法解,问题往往较易解决.就解决数学问题而言,借助图形性质来研究数量关系,即利用“数”和“形”的转化来解决数问题的方法,称为图形法. 通过从几个方面说明图形法在解决一些代数问题的应用.
关键词：图形法;代数;应用
代数研究的对象主要是“数”,几何研究的主要对象是“形”,然而两者却有着非常密切的关系,有时一个代数问题它可能是一个几何问题演变而来的,如果我们能通过想象,把抽象的代数问题模拟成具体的,直观的几何问题,那么我们可以根据图形的性质来解决它.本文从几个侧面谈谈图形法在解决代数题中的应用.
1 图形法解决最值问题
关于代书中的最值问题是比较常见的问题解决这类问题方法很多,但某些最值问题,用纯代数方法不易求解,如果我们将抽象的代数问题转换成直观的几何问题,即利用图形法却往往比较容易理解.
例1  求函数   的最大值和最小值.
                          解 令   则点 是单位圆
 上的动点,于是 为过点 与点 的直线的斜率. 这样原函数的最大值与最小值问题就转化为“求过点 与圆 上任一点的直线的斜率最大值和最小值”.
   如图  易知直线斜率的最小值为 ,最大值为 因为  , 所以原函数 即原函数 的最大值为 ,最小值为 .
    注 这类问题属于利用函数表达式的特点,数形结合使求函数最值问题转化成为求过某个定点于动点的直线斜率的最值问题.常用形如  的函数最值均可用直线斜率来解决.
例2  设 ; ,试求 的最小值.
    解 若直接使用普通方法来解决它,则不容易思考,如果从它的表达式、联想距离公式 那么可以构造图形解决,引入参数 , ,由此有 ,令 , ,则有 ,即 ,于是问题转化为“求半个圆 上的点与双曲线 上的点的最短距离”,如图所示,由圆与双曲线的性质可知这个最短距离时 所以 的最小值是 .
注  多元引参,图形控制,直观明白,这类问题属于数形转化构造“距离模型”而实现求最值,利用“距离模型”还可求函数 的最小值.
2 用图形解不等式
   不等式问题在使用代数方法时不仅计算量大而且还需要分多种情况进行讨论,稍不注意就会出错.如果我们将不等式的问题可以转化为函数图像相交的情况,问题会较为直观.比如研究两个函数的交点或位置关系的问题,可以通过考虑通过直角坐标系内两点的距离公式来处理.
例1  已知 ,求证  .
分析 此题应用代数方法证明比较困难,但若从结论观察,式中只有 个积,而 可看作是 ,故可以构造出边长为 的正方形的几个小正方形,用面积法去证.
证 以 为边长做正方形,由于 ,故在正方形边上取点,作出小正方形,则 即为所求的阴影部分的面积,
显然 .
例2  解不等式
    分析 不等式等价于 ,其几何背景为函数 的图形在两条平行线 与 间的弧所对应的的区间.
    解 不等式等价于 ,其几何背景为函数 的图像在两条平行线 与 间的弧所对应的区间,如图,函数 的定义域为  ,由 解得 由函数定义域以知目标弧所对应的区间为 ,原不等式解集为 .
注 此题可用常规方法解出但相比较图形法比较繁琐.
例3  解不等式
    分析 这是一个无理不等式,如用代数方法,则要分多种情况讨论.
   若设     则原不等式变为 ,可以借助图形解,在同一坐标系上,作曲线    ,显然使得曲线 落在曲线 的下方的 的取值范围就是 的解.
    解 设    在同一坐标平面中,分别做 和 的图形.
 是长轴在 轴且在 轴上方的半椭圆 是过点 和 的直线.设半椭圆与直线交与  由图形可知,当 ,或 时 的图像在 的下方,故原不等式的解为 求两曲线的交点的横坐标: 得 , 故原不等式的解为
 
注 巧妙的构建函数将原不等式一拆为二,并利用函数建立图形所求结果一目了然.这两个例题若用代数方法都比较麻烦,但巧妙使用图形法相对比较简单.
3 利用图形法解方程（组）或集合问题
这种问题的方法比较单一,基本上不会将它和图形方法联系到一起,但我们知道方程是函数取零时的一种特殊形式.我们可以通过类似函数图像进行联系,将图形法应用到方程(组)的问题中去.
例1  设 、 、   ,且 ①  ②   ③求 的值.
分析 这是一个方程类型的代数问题,很难想像能有什么图形能与之建立联系,但挖掘其遗憾条件,联想到余弦定理,将 、 、 ； 、 、 ； 、 、 分别视为三角形的三边,可以构造图形,是问题得到解决.
解 由面积关系：                                 
得 即 ④  ①+②+③+3*④得   ⑤ 又 、 、   由⑤得
注 这道题初看时想到的方法解方程组,但操作实在是麻烦,但使用图形法来说相对简单些.这题主要练习大家图形与代数之间的联系和三角函数的基本概念.
例2  设 是实数,考虑方程组  若此方程组有实数解,求 的取值范围. 此方程组有几组不同实数解？
 分析 因为 表示过原点的两条相互垂直的直线 表示圆心为 ,半径为 的动圆,本题讨论方程组有实数解的问题即讨论动圆与直线有无公共点的问题.
解 作 和 的图形
 求此方程有实数解时 的取值范围,即求直线与圆有公共点是 的取值范围,设当动圆与两直线相切时,圆心位置是 、 ,则 可见当动圆的圆心在线段 上时,圆与两直线有公共点,所以 的取值范围是
 由图形可知,当 时,一般有四组解,但当圆通过原点时,只有三组解,故当 或 或 时有四组解,当 或 时无解.
例3 设 、 是实数,     ,讨论是否存在 、  使得    同时成立.
分析 此题等价于混合组 在直角坐标 中作直线和圆,由图所知混合组有解即直线与圆面有公共点,即圆心到直线的距离不大于 ,于是
得： 整理 即   这与已知 矛盾.
故符合条件的 、 不存在.
注 当大家看到这个不等式证明题,马上想到采用分析法、综合法等,而此题利用这些方法证明很繁琐,将数形结合起来相对简单.通过此题希望大家的解题思路更加全面,不再拘泥于一类方法中.
4 用图形法解三角问题
其实三角函数在最初的研究时,我们就是以几何形式呈现的不过再后来的学习中它在代数中的使用较为频繁,我们就忽视了它的几何性质,现在只要将它和几何挂钩,就可以使我们在这类问题中寻找到较为容易理解的方法.
例1  已知       
求证：
证明 由已知得,如果我们能引进直线 ,于是可的点    在这个直线上,但是过 、 两点的直线方程又可写为 直线与直线 表示同一条直线,于是对应系数的比例可得到结论.
例2  正数 和 满足 ,求证: .
证明 构造边长为 的等边三角形 .
 
例3  对于任何 ,有 ,其中等号仅当 时成立.
证明 如图建立单位圆,是 ,
则 扇形
即      
根据正玄线、正切线得出：（等号成立当且仅当 时成立）
注 我们所遇见的数学题大都是生疏的、复杂的.在解题时,不仅要先观察具体特征,联想有关知识,而且要将其转化成我们比较熟悉的,简单的问题来解.恰当的转化,往往使问题很快得到解决,所以,进行问题转化的训练是很必要的.
小  结
我们通过这类方法可以把数字信息转化为图形信息,由图形特征抓住问题本质,这种方法使问题更明显的摆在我们面前,是代数问题的另一种解题思路.
(指导老师:査淑玲)
参考文献:
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[9]  Browder, Andrew. Mathematical Analysis[M]. Springer Verlag. 2005.
 
Application of Graph Methods in Solve Algebraic Problem
                      JIA Hai-tao
(Class 1 Grade 2006, Departement of Mathematics and Information Science ,Wei Nan Teachers University)
Abstract: Graphic method is an important and widely used mathematical way of thinking. Some abstract algebra problem, if we pay attention to the combination of number and shape, with a graphic solution method, the problem is often easier to solve. To solve mathematical problems, with the help to study the relationship between the number of graphic nature, namely the use of "several" and "form" of the transformation solution for the problem, called the graphical method. by the graph in several ways to solve some algebraic problems in the application.
Key Words: Graph methods; Algebra; Application.