解析化思想和创新思维在二元一次不等式（组）中的应用
—————教学中的一点感悟
甘肃省白银市靖远县第二中学 郭众民

摘要：在讲授二元一次不等式（组）在平面直角坐标系中表示的平面区域的判别方法时，人教版必修5中给出的是“直线定边界，特殊点定区域。”的方法来学习和处理这部分内容。这虽然是一种基本方法，但笔者感觉这在教材中是一种比较复杂而不容易掌握的方法，学生理解起来特别困难。笔者发现由直线方程 的一般式所得不等式中的 取值范围来判断二元一次不等式 表示的平面区域是一种容易记忆，能够体现解析化思想和创新思维。
关键词： 二元一次不等式（组）；平面区域；判别方法
二元一次不等式（组）的解法是理解二元一次不等式（组）与平面区域的关系，借助几何直观解决简单的线性规划问题，他是高中数学课程中的难点和重点，要能很好掌握这部分内容，学习方法和学习技巧是关键；在教育教学实践中笔者讲授二元一次不等式（组） 在平面直角坐标系中表示的平面区域的判别方法时，在教材人教版必修5中给出的是“直线定边界，特殊点定区域。”的方法来学习和处理这部分内容。一种方法是：取原点（0,0）代入不等式（组）判断不等式（组）是否成立来确定不等式（组）表示的平面区域，而当直线过坐标原点时再取点进行判断，另一种方法是：二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）对于在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）。
虽然这些方法是最基本的方法，笔者感觉这种方法在教材中不够简单和不易掌握，学生学习起来特别困难；笔者在有关资料中还看到有一种由直线方程一般式的系数特征，可判断直线位置关系的方法，类比可得到由二元一次不等式（组） ，来确定二元一次不等式 表示的平面区域，例如：
若： 方法笔者感觉还是没有体现解析化思想和创新思维，在笔者教学的过程中发现由直线方程 的一般式所得不等式中的变量 的取值范围来判断二元一次不等式 表示的平面区域？笔者结合一元一次方程和一元一次不等式的解集的求法来研究这个问题，把二元一次不等式 中的两个未知量中的一个设为零（例如 ），这样就变为一元一次不等式，再根据未知量的取值判断表示的平面区域，通过多次的实践和总结我感觉这是一种让学生容易记忆，便于应用的简易方法，下面我对这种方法做一介绍，与各位同仁商榷。
1. 特殊情形
（1）若 则表示直线 的上方或下方的平面区域 图1,或图2
（2）若 则表示直线 的右侧或左侧的平面区域图3,图4

2.一般情形（ ）
直线 中求出直线的斜率 判断斜率的符号，直线的斜率大于零或小于零在直角坐标系里有两种位置如图5，图6，

1，当 时，
1），在图5的直线构成的不等式 中，令 ，当 时得 ， 则区间 都在不等式所表示的平面区域内，所以 表示的平面区域是直线 的右下方的区域，如图5-1当 时得 则区间 都在不等式所表示的平面区域内，所以 表示的平面区域是直线 的左上方的区域，如图5-2

2），在图5的直线构成的不等式 中，令 ，当 时得 ， 则区间 都在不等式所表示的平面区域内，所以 表示的平面区域是直线 的左上方的区域如图5-2，当 时得 则区间 都在不等式所表示的平面区域内，所以 表示的平面区域是直线 的右下方的区域如，图5-1，
2，当 时，
1），在图6的直线构成的不等式 中，令 。当 时得 ， 则区间 都在不等式所表示的平面区域内，所以 表示的平面区域是直线 的右上方的区域，如图6-1，当 时得 则区间 都在不等式所表示的平面区域内，所以 表示的平面区域是直线 的左下方的区域，如图6-2，
2），在图6的直线构成的不等式 中，令 。当 时得 ， 则区间 都在不等式所表示的平面区域内，所以 表示的平面区域是直线 的左下方的区域，如图6-2；当 时得 则区间 都在不等式所表示的平面区域内，所以 表示的平面区域是直线 的右上方的区域如图6-1，

例如：画出不等式组表示的平面区域。

解：先做出直线 的直线，在不等式 中令 得 ，可得 表示的平面区域是直线 的右下方的半平面，再做 的直线，在不等式 中令 ，得 可得 表示的平面区域是直线 的右上方的半平面，然后做特殊的不等式 的半平面，以上三个不等式的公共部分就是不等式组
表示的平面区域。如图笔者感到应用这一种方法解这类问题可以既简单又准确的求出二元一次不等式（组）所表示的平面区域。
笔者在课堂教学中通过实践和多次尝试得到这种求二元一次不等式（组）表示的平面区域的一种比较合理实用，便于记忆的方法，尤其是在线性规划求最值时做它的可行域简便实用。随着新课程改革的不断深入，解析化思想在学生学习中有着十分重要的作用，在学生对解析化思想的掌握上需要重视学生对基础知识的牢固掌握，在课堂教学中对解析化思想的渗透要灵活运用，以启迪学生的创新思维。