数形结合在数学教学中的应用
◎ 贵州省普安县窝沿中学 李昕
在教学实践中，我们常常很深切地体会到：数形结合既是一种重要的数学思想，也是一种常用的数学方法。在研究数学问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，可以把几何图形转化为数量关系问题，运用代数三角知识进行讨论，或者把数量关系转化为图形性质问题，借助几何知识加以解决。因此，在数学教学中重视运用数形结合的方法，借助图形的形象、直观，研究数学问题，不仅为学生提供了一种简洁的解题方法，而且也有助于学生加深对数学知识的认识。本文就数形结合在数学教学中的应用作一个简单的探讨。
一、运用数形结合进行函数教学。
数形结合是中学数学思想中的重要数学思想之一，渗透于数学的各个环节之中。在函数教学中，函数及其图象为数形结合的教学开辟了广阔的天地。函数的图象是从“形”的角度反映变量之间的变化规律，利用图象的直观性有助于题意的理解、性质的讨论、思路的探求和结果的验证。如二次函数、指数函数和对数函数等等，根据函数图象讨论函数的性质，借助函数图象的直观解决实际问题，使学生学得轻松有趣。既可以提高学生的识记能力，又可以加深对函数的图象和性质的理解，使数与形在学生的头脑中密切地结合起来。
例：判断下列式子中x的正负 y
2x=1.2

分析：考察指数函数y=2x，因 a=2>1，在定义域(-，+)上是增函数，故画出草图，从图中可知，该函数在区间(0，+)上有y>1。因此，从2x =1.2>1可知x>0。在数形结合思想启发下，运用抽象函数图象化，模型化策略，作出函数的图象，则问题原形显露了。通过数形结合的方法，分析解决这类问题，可以极大地提高学生分析问题、解决问题的能力。
当然，数学教材内容中的数轴、向量、复数、三角和圆锥曲线等知识，以及一些几何问题的代数解法，这些都是进行数形结合教学的基本素材。充分运用好这些内容进行教学，使数形结合的方法经常存在于学生的思维活动中，可以在学生头脑中形成良好的数形结合的思想。
二、运用数形结合，发挥学生的形象思维。
人们认识客观世界时，面对抽象的事物，总是积极地寻找具体的、形象的认识途径，以期达到洞悉抽象事物的目的。可以说，形象与抽象是矛盾的两个方面。在研究抽象的数学问题时，形象思维又是处理数学问题的一种重要思维形式，特别是在解析几何及其函数研究中用途很广。教学中，如果注意引导学生把抽象问题同相应的感性材料联系起来，给予具体、直观、形象的数学模型，并通过对这些模型的研究分析，就能巧妙地解决问题。这种数形结合的思想方法，对发展学生的形象思维是极其有利的。
例：已知函数y= 4-x x的大致图象是（ ）
y y y y
o 4 x o 4 x
o 4 x o 4 x (A) (B) (C) (D)
分析:此题若用直接法进行选择,一般先将函数分段表示,然后画出简图获得答案。其解题思维过程是聚合性思维，没有充分利用已知图象。如能把数与形结合起来考虑，即把函数式与所给函数图象结合起来分析易知：当x<0时，图象位于x轴下方；当x=0时，对应点在原点；当x>0时，图象应位于x轴上方。所以很容易作出正确选择。
可见，数形结合的方法发展学生的形象思维，能更深刻地理解数学概念，使抽象的数学问题直观、形象化、易接受。而且对数形结合有了较为深刻的认识，在潜移默化中，学生会逐渐地养成运用数形结合思想解题的习惯。
三、数形结合在解题中的应用。
利用数形结合进行解题，它不仅将优美的下题解过程形象地展现在解题者的面前，而且给解题者带来层次分明的思维训练而回味无穷，使学生产生一种奇异的感觉，消除一部分学生因数学的抽象性而产生的畏惧、厌烦情绪，从而产生对数学的兴趣。教学时，要引导学生从充分利用形的直观性来揭示数学问题的本质属性；由形思数，利用数研究形的各种性质，寻找运动规律；数形结合，促进矛盾顺利转化，创造条件使对立双方达到统一。这样，有利于培养学生多角度、多方面的思考习惯，有助于训练学生思维的灵活性、广阔性、创造性和辩证性，提高学生解决问题的能力和创新能力。
1、 以形辅数，较直观、快捷。
某些看似单纯的数量关系的代数问题，如果能注意到它所包含的几何意义，或者设计出一个与之相关的几何模型则可能找到新颖别致的解法，借助“形”使我们对问题本身不但有直观的分析，且能有更深刻和实质的了解。
例1、已知3x-4y+4=0，
求：z= + 的最小值。
分析：初看此题，它是求函数最小值的代数问题，容易想到用配凑法、消元法等代数方法来解决，但真的动手来做却较麻烦。而采用数形结合方法解决就简单明了。本题所求的最小值实际上是求直线3x-4y+4=0上一点p(x,y)到两定点A(2,15)和B(-3,5)的距离之和的最小值。由几何图形显示隐含条件，合理的解题方案便形成了。
例2、不等式 > X+2的解集是
分析：如果按照一般的常规解法，须转化为图形处理，以形辅数就方便多了。可令y1= ，y2=x+2，在同一坐标系中分别作出它们的函数图象。
已知原不等式有意义的x值为-2 x 2从图象中观察可见，使y1>y2成立的取值范围是(-2,0)。 Y
2、以数论形，能精确判断，深刻表述。
某些代数三角问题，借
助于图形性质来探求思路或作出结论。而某些几何图形问题，可通过计算或数量分析的方法，能准确和深刻地表述图形的性质，获得问题的结论。
3、数形结合，综合应用。
由数想形、由形思数是数形结合的两个方面，有时又要综合应用，既由图形寻找出数量关系，又通过代数方法加以解决。
例3、设D为ABC边上一点，而BD=2DC，
求证：AB2+2AC2=3AD2+6CD2
分析：若单从几何角度看，已知条件和论证的目标相距较远，不易下手。如果我们建立如图所示的直角坐标系，使数形结合，综合应用解决。可设四点的坐标分别是
A(x,y)，B(-2a,0)，C(a,0)，D(0,0)
则有：AB2+2AC2=[(x+2a)2+y2]+2[(x-a)2+y2] =3(x2+y2)+6a2
3AD2+6CD2=3(x2+y2)+6a2
即可证得：AB2+2AC2=3AD2+6CD2
综上所述可见，数形结合是学好数学的一把钥匙。它可将一些看似复杂的问题变得非常简单，也常使一些难于下手的问题迎刃而解。利用图形的直观性解题，巧妙地简化了大量繁杂的计算和逻辑推理过程，构思新颖，解题简洁。其方法的丰富内涵对培养与发展学生的思维能力、解题能力极为有用，也有助于增强学生的数素养，因而这种方法在数学教学中应给予足够重视。