初中数学课堂教学中如何进行分类讨论
◎ 贵州省沿河县淇滩镇钟南完小附中 张全珍
中学数学教学大纲指出：“数学教学中，发展思维能力是培养能力的核心。”所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略，应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。分类讨论是初中数学教学中的一个重要内容。本文根据笔者多年来的教学经验，谈一下如何帮助学生树立分类讨论的思想。
一、在教学过程中?渗透分类思想
每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。分类讨论思想贯穿于整个中学数学的全部内容中。初中阶段数学运用分类讨论思想解决的数学问题，其引起分类的原因主要可以归结为以下几个方面：一是概念本身是分类定义的，如绝对值等；二是问题中涉及的数学定理、公式或运算性质、法则是有条件或范围是限制的，或者是分类给出的；三是含有字母系数（参数）的问题，有时需对该字母的不同取值范围进行讨论；四是某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置，不确定的结论等都要进行分类讨论。如数的分类，绝对值的意义，不等式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会。分类讨论一般应遵循以下的原则：??对问题中的某些条件进行分类，要遵循同一标准；?分类要完整，不重复，不遗漏；?有时分类并不是一次完成，还须进行逐级分类，对于不同级的分类，其分类标准不一定统一。
二、在基本概念、公式的教学中进行分类讨论
在一些涉及分类的基本概念的教学中，应使学生了解分类讨论必须有一个统一的分类标准，必须不重不漏，并初步掌握它在解题中的应用。比如，在有关绝对值的概念中，当去掉绝对值符号时，便要把绝对值内的字母分大于0，小于0，等于 0三种情况进行讨论；若已知|a|=3，|b|=2，求a+b值。在解这道题时，由|a|=3，得到a=3或a=-3,由|b|=2，得到b=2或b=-2。因此，对于a、b的取值，应分四种情况讨论，当a=3，b=2时，a+b的值为5；当a=3，b=-2时，a+b的值为1；当a=-3，b=2时，a+b的值为－1；当a=-3，b=-2时，a+b的值为－5，即a+b的值为5；1；－1；－5。在解这个数学问题时，由于它的结果可能不唯一，因此需要对可能出现的情况一一加以讨论。在运用分类讨论思想研究问题时，必须做到“不重、不漏”，而且要按照相同的标准进行讨论，只有掌握了分类讨论思想，在解题时才不会出现漏解的情况。
三、在含字母系数的方程的教学中进行分类讨论
用字母表示数是代数的一个重要特点，把具体的数过渡到用字母表示数，这也渗透了抽象概括的思维方法，有利于培养学生思维的深刻性。由于字母所表示的数具有不确定性，因此在求解系数是含字母的代数式的方程时，需分类予以讨论。
如方程2kx-6x+8=0有几个实数根？学生往往不注意k对方程性质的影响，讨论或讲评中，使学生明确系数k决定方程的次数，从而分k=0，k≠0两类讨论。当k≠0时，再分△>0，△=0，△<0三种情况进行讨论。
又如二次函数y=a（x-1）2+m的图像过哪几个象限？这道题势必要考虑图像的开口方向，又要考虑对称轴和顶点的位置。要对字母a和m分类。怎么分，则应由学生讨论，互相补充，互相评价，逐步完善。
四、在几何的解题教学中进行分类讨论
在给定的几何条件下，由于图形的形状或位置不同含有不同的结果，或需用不同的方法处理，从而引发了几何的分类讨论问题。因此须引导学生在解题中自己动手画图时，应全面分析，尽可能突破思维定势，考虑到每一种可能的情形，从而培养学生思维的广阔性、灵活性。如甲、乙两人分别从A、B两地到C地，甲从A地到C地需3小时，乙从B地到C地需2小时40分钟，已知A、C两地间的距离比B、C两地间的距离远10千米，每行1km甲比乙少花10分钟。(1)求A、C两地间的距离；(2)假设AC、BC、AB这三条道路均是直的,试判定A、B两地之间距离d的取值范围。又如又如初中九年级课本证明圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
为什么要根据圆心相对于圆周角的位置分成三种情况去证，这就需要学生在自主画图测量、分析讨论方可以回答的问题。于是学生在笔者的引导下，兴趣盎然地进行探索活动，逐步体会到恰当的分类可增强题设的条件，即把分类的依据做为附加条件，先证明特殊情况，再由特殊情况推广到一般情况的解决问题的思路，揭示分类讨论的本质为化繁为简，由特殊到一般，分而治之。
就分类讨论思想方法而言，在几何图形的解题过程中，一般是由几何图形的可变性引起的讨论，在实际教学中可以碰到很多这种习题。如：等腰三角形的两边为4，6，求该三角形的周长？等腰三角形一个角是70°，求其他两个角的度数？等等。
五、解答分类讨论型问题的步骤
分类讨论型问题常与开放探究型问题综合在一起，不论是在分类中探究，还是在探究中分类，都需要具备扎实的基础知识，和灵活的思维方式，对问题进行全面衡量、统筹兼顾，切忌以偏概全。解答分类讨论型问题的关键是要有分类讨论的意识，克服想当然的错误习惯。
通常解答分类讨论型问题的一般步骤：一是确定分类对象； 二是对问题中的某些条件进行分类，要遵循同一标准，进行合理分类（需理清分类的界限，选择分类标准，并做到不重复，补遗漏）；三是逐类进行讨论（有时分类并不是一次完成，还须进行逐级分类，对于不同级的分类，其分类标准不一定统一）；四是对各类讨论结果进行归纳，并加以整合，归纳出结论。运用分类讨论思想解决问题时要在确保正确的基础上尽量减少分类，使问题解决过程简洁化。
总之，利用现有教材，教学中着意渗透并力求帮助学生初步掌握分类的思想方法，结合其它数学思想方法的学习，注意几种思想方法的综合使用，给学生提供足够的材料和时间，启发学生积极思维。相信会使学生在认识层次上得到极大的提高，收到事半功倍的教学成效。