创 设 理 解 型 学 习 的 数 学 课 堂

◎    浙江省金华市第六中学    胡奇保

    一个方法，一种思想，有时它并不是高不可攀，深不可测的，它不是死板的教条，它不只是存在于书本上，老师的嘴里，它有时候就在你的心间.只是你没有意识到它的存在，只要有适当的诱因，它可能迸发出来.《数学课程标准》强调指出：强调本质，注意适度形式化.“要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里.高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质，使学生理解数学的概念、结论逐步形成过程，体会蕴涵在其中的数学思想，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态.”事实上没有对数学本质的理解，就不可能有应用与创新.这就要求我们，教学中必须弄清问题产生的背景、抽象的过程以及结果的表述，体会其内在的本质，由此及彼、由表及里、去粗取精、去伪存真.

一  对数学本质的深刻认识

    要弄清数学的本质，也就是明确什么是数学.对数学的本质有着多种理解，综合起来看，数学是对现实世界进行抽象、概括而形成的形式化的模式，或由数学家按照一定的原则建立的、具有一定结构的模型.比如，非欧几何完全是由数学家按照公理化方法构造的数学模型，并且在其孕育初期并不为人们接受，但爱因斯坦将其运用于物理学的研究，大胆的提出了相对论，这一理论在以后的天文观测中得到了证实.因此没有理解的数学对学习者来说是没有意义的，在学习过程中学习者将数学知识通过同化或顺应等方式融入自身的结构中或形成新的认知结构，这是一个外部信息和自身的内部智慧相互结合、相互糅合、相互撞击的过程，是一种产生新看法，或者说他是一个理解和感悟的过程.

二  对现行数学课堂的反思

    无庸讳言，全国上下近年来兴起的教改浪潮，为数学教育教学远离浮躁，回归本质，起到了鸣锣开道的作用.但我们也应该看到，在现在的课堂教学中，由于种种原因（老师、意识、能力、态度等），还大量存在注重形成，不及本质；注重通俗，忽视升华；注重直观，淡化理性的倾向.理解型课堂没有一席之地，教师注重的是讲授、训练、作业、考试等一些有形的东西，对数学学习中如何创设理解型课堂，培养学生的体验、感悟这些无形的东西往往是比较忽视的.

    诚然，在数学学习中，训练是一种受“游戏规则”制约的智力行为，是为熟练“游戏规则”服务的.从这个意义上讲，训练比理解的层次要低的多，熟能生巧，但熟不能生新.创造性是不能由训练而来的，学生的创新意识是一种心灵火花的迸发行为，是以理解作为基本表达方式的.

三  创建促进理解型学习的数学课堂

1、数学课堂应是理解型学习的数学课堂

    首先数学课堂作为师生共同实践的共同体，通过师生、生生的交流与合作（智力的和社会的），学生对数学学习对象的意义获得理解.教师应建立一个课堂环境使学生投入到探究的过程，并愿意使用熟悉的表达形式和语言来分享他们的原始的领悟.其次理解型学习的最重要的特点在于它的生成性，只有当学生获得了理解的知识，他们才能够应用这些知识去学习新的主题和解决新的不熟悉的问题.

    有学者认为，美国课程标准下的学校改革运动可以描述为“聚集在理解的深度---如何使学生更好的推理，如何更好的应用他们学习的知识，而不是孤立事实的堆积”.在信息技术日新月异的当今社会，我们不能预期学生将来生活或解决将来面临的问题所需要的所有技能，因此学生必须理解所学知识，否则他们在课堂中学习的内容很难应用到校外，这也正是新课程改革的一个重要原因.因此，理解型学习同样也是我国新课程改革所积极倡导的.

2、发展理解

    学习运算技能和发展概念性理解是一起发展起来的.研究表明下列五种心智活动将有助于数学理解的产生:

2.1建构关系  

    教学必须把学校学习的教学与学生的非形式化知识联系起来.否则学生将很可能发展两个系统的数学知识：学校数学和生活数学.另一方面，学生对知识的理解与概念的发展是有层次的.弗赖登塔尔认为，现实是解释的混合体，是一种感觉上的体验，它不仅是时空世界，还包括思维对象和思维活动.体验中的现实不是静态的，而是随着人的学习过程而成长的.新知识的获得应该建立在学生的生活经验或“数学现实”上，并且发展成为良好的认知结构.

2.2延伸和应用数学知识

    学生必须有机会把学习的新知识与已经存在的知识建立联系，并且这种联系支持知识的延伸及应用，于是才有可能实现理解型学习.

数学知识的建构应该让学生觉得知识不是别人告诉他们或他们解释的，而应当是他们自己发展的。通过教师创设问题情景，设障立疑，学生对问题多方面加工与整合，真正体会和感悟数学美，其过程往往会令人心旷神怡.

2.3反思经验

    新《课程标准》指出：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础上.学生已有的认知结构是学生知识的生长点，也是教师开展教学活动的起点，在例题教学中，应从学生已有的知识经验出发，不断暴露解题的思维过程，不仅教会学生解某道题，更要让学生明白该问题的产生的背景，使学生对解题过程产生亲近感，从而产生共鸣，让学生对解题方法想得到，弄得明，摸得着，用得上，逐步培养学生善于提出问题，创新解答问题的能力.

 2.4表达和交流

    从认知的角度来看，通过数学交流可以使学生对数学问题由浅入深，由表及里，由特殊到一般地去认识，使他们有机会由感性认识上升到理性认识，使认识产生质的飞跃.从学习论的角度来看，通过交流主题感知到认知，从认知到理解，从理解到应用，从应用到反思，每个环节都有充分的时间和空间得以顺利完成，从而使新旧知识的同化和顺应过程稳定而有序，为新的数学认识结构的建立提供了一个根本的保障.从思维科学的角度来看，数学交流提供了一条使学生把内部思维转变为外部语言的途径，即利用外部语言对思维活动进行加工、整理，从而明晰思维过程，巩固思维成果，引发思维创造.

3、课堂文化

3.1尊重观点和方法

    在课堂中，当一个任务呈现后，大量的时间用于学生表达方法，质问，评价，比较方法等.作数学意味着通过发展和改进解决问题的方法，来构建数学关系.只有尊重学生的各种观点和方法，才能反思和交流数学.

3.2学生选择和分享方法

    一节数学课好比一期前些年在中央台播出的“实话实说”节目，“实话实说”的模式，能够使数学知识返璞归真，使学生感到自然亲切，并且思而悟，由辨而明，以人服人，以乐促学.教师在教学中应适时进行调控，牢牢把握教学目标，在这个前提下应该“跟着（学生的）感觉走”，让学生当“主演”，使学生真正成为学习的主人，备课应多准备几个预案，因为教学实践中可能出现预料之外的情况，要有充分的心理准备，处惊不乱.也不拘泥于“预案”，要从实际出发随机应变，勇于“现场直播”，积极鼓励学生“实话实说”.因此，分享方法是必要的，甚至当我们有机会描述和解释我们的思想时会让我们理解得更好.

3.3错误是学习的场所

    错误要以建设性的方式来评价，使它成为一个学习的机会，思考产生错误的原因是促进理解的课堂讨论的必要组成部分.在课堂上一味追求形式上的热闹和学生的投入，而忽视课堂活动的数学认知水平或数学知识的科学性，这种课堂将降低学生的思维水平和误导学生.

4、教学工具恰当使用

    做数学需要使用工具.这里的工具包括传统的教具，也包括现代网络和多媒体技术及软件.然而教学工具不只是用于机械的辅助或获得答案，更应该用于反思和交流.

    事实告诉我们，学生学习数学归纳法的主要困难有两点：其一是方法本身不理解，第一步意义和第二步本质分别是啥？其二是归纳假设成立推导成立时变形过程有困难.其中第二条属于枝节问题.教学中老师为了解释两个步骤的必要性，可以说是使出了浑身解数，从点燃的鞭炮到多米诺骨牌...千方百计从直观上让学生接受这种方法的准确性.鉴于学生实际，这种做法很必要，但遗憾的是，对于隐含在背后的实质性问题揭示不够，学生也就稀里糊涂地带入了模仿操作的怪圈.事实上第一步的验证只是点燃了结论发生的火种（并不意味着一定能成燎原之势），是归纳假设的基础；第二步的实质是证明题目本身所蕴涵的数学关系的传递性，由的任意性，从而保证了这种数学关系的“永恒”性.因此无论是鞭炮还是多米诺骨牌，这样的例子再好也是一个表象，它绝不能替代丰富的理性内涵.

对直观的东西一定要适可而止，用了会降低理解上的难度，多了，会抑制思维，只有恰到好处，才能发挥它的应有价值.如，对于多米诺骨牌问题的使用，我们需要的只是当其中一个倒下去的时候，其他整个的也倒下去的景象，从而让学生获得对数学归纳法的整体印象，在此大可不必对骨牌摆放中的等间距问题，并且其中一个倒下去的时候会压倒第二个作出说明，因为这样的话，容易使学生产生误解：既然这种过程是清清楚楚的，传递是必然的，那还要证明干什么？其实，第二步的实质是从摆放工艺即关系上证明其中蕴涵的传递性，而不是直接去承认传递性，即证明的是一种关系，而不是现象.

5、教师的作用

    教师关于数学是什么（本质），数学是如何习得的（学），数学应该如何教授（教）的看法将对教师的教学行为，最终对学生的数学学习获得产生影响.

5.1建立鼓励理解型学习的课堂文化

    要建立理解型数学课堂文化应在教学中重视数学思想和数学文化.不断的评价学生的学习，不断评价课堂文化以确保学生能投入到问题解决中去，反思和表达他们的思想.

     5.2选择促进理解的任务

    任务携带着数学价值，并提供问题解决、反思和表达的机会.教师不仅要提供对每位学生适合的任务，而且要提供学生解决问题，发展理解的合适工具.

    导数作为高等数学中的知识渗透进入高中阶段学习，在教学中如果教师就事论事，仅仅将其作为数学教学知识来学习，忽略其中蕴涵的数学思想及数学文化对学生的熏陶以及素养的提高，就不免是“入宝山而空回了”.通过学习不仅要使学生掌握一种科学的语言和工具，更要学习一种理性的思维模式.

     具体来说，教师可以从两个方面考虑：一是在课堂上有意识地介绍有关微积分产生的时代背景和历史意义；二是从哲学角度分析其中所蕴涵的数学思想以及价值.因此在数学教学中教师不仅应将这些数学思想方法合理运用到数学教学中去指导教学，而且应把所使用的数学思想方法揭示给学生.

 5.3评价每位学生的理解

    评价有两个目的：教师能够知道任务或课堂结构是否对发展学生的理解有效；另一方面学生能够评估他们自己的理解.在促进理解的课堂中，教师要注意介入的合理性，尽量发挥积极作用而避免负面影响.

6、公平原则

    在课堂中尊重每位学生，这就意味着课堂任务对每位学生来说都是可着手的.课堂文化包括认真倾听每一位学生，课堂环境使得每一位学生都作出贡献.

培养理解型学习课堂的关键是让学生能体验明理，从而开发学生的潜能，因此教学时应在学生的思维方式、情感体验、心理需求以及和相关学科的联系上创设有利于学生主动参与的条件，从而展现数学的灵性，让理解型学习伴随着数学学习，成为数学学习的一种境界。