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数学思想方法浅谈

吴美华

（福建省武夷山一中，福建  武夷山 354300）

在教育走向现代化的二十一世纪，如何在数学教学中实施素质教育，提高学生的数学素养，是摆在数学教学面前的问题。那种只重视讲授基础知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高；反之，如果单纯强调数学思想和方法，而忽略基础知识的教学，就会使教学流于形式，成为无源之水，无本之木，学生也难以领略到深层知识的真谛．因此，数学思想、方法的教学应与整个基础知识的讲授融为一体，使学生逐步掌握有关的深层知识，提高数学能力，形成良好的数学素质。这也是数学思想方法教学的基本原则。

结合本人的教学经验，下面对数学思想方法教学浅谈一些体会。

　  一、在高三数学教学中，数学思想方法教学的途径主要有：

1 、用数学思想指导基础复习，在基础复习中培养思想方法。

① 基础知识的复习中要充分展现知识形成发展过程，揭示其中蕴涵的丰富的数学思想方法。如讨论直线和圆锥曲线的位置关系时的两种基本方法：一是把直线方程和圆锥曲线方程联立，讨论方程组解的情况；二是从几何图形上考虑直线和圆锥曲线交点的情况，利用数形结合的思想方法，将会使问题清晰明了。

②注重知识在教学整体结构中的内在联系，揭示思想方法在知识互相联系、互相沟通中的纽带作用。如函数、方程、不等式的关系，当函数值等于、大于或小于一常数时，分别可得方程、不等式，联想函数图象可提供方程、不等式的解的几何意义。运用转化、数形结合的思想，这三块知识可相互为用。

　　例如、若关于 x 的方程 9 x +(4+a)3 x +4=0 有实根，求实数 a 的范围。

分析：若令 3 x =t , 则 t>0, 原方程有解的充要条件是方程 t 2 +(4+a)t+4=0 有正根，故解得： a ≤－ 8 。这种解法是根据一元二次方程解的讨论，思维方法是常规合理的，但解法繁琐，若采取以下解法：因为 a ∈ R, 所以原方程有解的 a 的取值范围为函数 a=－（ 3 x +4 ）的值域。根据基本不等式上式 a ≤－ 8 。则思维突破常规，利用函数与方程的转化，解法灵活简捷。

2 、用数学思想方法指导解题练习，在问题解决中运用思想方法，提高学生自觉运用数学思想方法的意识。

①注意分析探求解题思路时数学思想方法的运用。解题的过程就是在数学思想的指导下，合理联想提取相关知识，调用一定数学方法加工、处理题设条件及知识，逐步缩小题设

收稿日期：2007-01-31

作者简介：吴美华（1973-  ），女，汉族，中学一级，主要研究方向：中学数学教学

与题断间的差异的过程。也可以说是运用化归思想的过程，解题思想的寻求就自然是运用思想方法分析解决问题的过程。

②注意数学思想方法在解决典型问题中的运用。例如选择题中的求解不等式：y >x+1 ，虽然可以通过代数方法求解，但若用数形结合，转化为半圆与直线的位置关系，问题将变得非常简单。

③用数学思想指导知识、方法的灵活运用，进行一题多解的练习，培养思维的发散性、灵活性、敏捷性；对习题灵活变通，引伸推广，培养思维的深刻性、抽象性；组织引导对解法的简捷性的反思评估，不断优化思维品质，培养思维的严谨性、批判性。对同一数学问题的多角度的审视引发的不同联想，是一题多解的思维本源。丰富合理的联想，是对知识的深刻理解，及类比、转化、数形结合、函数与方程等数学思想运用的必然。数学方法、数学思想的自觉运用往往使我们运算简捷、推理机敏，是提高数学能力的必由之路。

二、高中数学中常用的思想方法有以下几类：

1 、函数与方程的思想方法。

函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种动态刻画。在对问题的观察、分析、判断等一系列的思维过程中，构造出函数原型，化归为方程的问题，实现函数与方程的互相转化接轨，达到解决问题的目的。

2 、数形结合的思想方法。

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识，数形结合的转化，可以培养思维的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体。

3 、分类讨论的思想方法。

分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在人的思维发展中有着重要的作用。如“参数问题”对中学生来说并不十分陌生，它实际上是对具体的个别的问题的概括．从绝对值、算术根以及在一般情况下讨论字母系数的方程、不等式、函数，到曲线方程等等，无不包含着参数讨论的思想．例如曲线系中，随着数值的变化，该曲线可能是椭圆、双曲线、圆、二平行直线等，因此需根据不同范围分类讨论．

4 、等价转化的思想。

等价转化思想是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的数学思想方法，转化包括等价转化和非等价转化，等价转化要求转化过程中前因后果应是充分必要的，这样的转化能保证转化后的结果仍为原问题所需要的结果；而非等价转化其过程是充分或必要的，这样的转化能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口，是分析问题中思维过程的主要组成部分。

总之，我们在数学教学的每一个环节中，都要重视数学思想方法的教学。“授之以鱼，不如授之以渔”，方法的掌握，思想的形成，才能使学生受益终生。