数学思想方法在数列中的运用

◎   陕西省定边县第四中学  张耘 杜平

数学思想方法是数学的精髓，是学生形成良好认知结构的纽带，是知识转化为能力的桥梁，是培养学生良好的数学观念和创新思维的载体，在教学中我们必须重视数学思想方法的渗透教学。下面就数列中蕴涵的数学思想，结合具体例题做一简单的总结。

１.函数思想

函数思想是用联系和变化的观点考察数学对象.数列是一类特殊的函数,以函数的观点认识理解数列，是解决数列问题的有效方法.

例1等差数列的前n项和为.已知问数列的多少项和最大?

分析:易知所给数列不是常数列,等差数列的前n项和是n的二次函数，且常数项为零,所以可利用函数思想研究的最值.

解法1:由得

,∴.

从而;

故前13项的和最大,其最大值为169.

解法2:,的图象是开口向下的抛物线上一群离散的点,由知最高点的横坐标为,即前13项的和最大.

２.方程思想

方程思想就是通过设元建立方程,研究方程解决问题的方法.在解数列问题时,利用等差、等比数列的通项公式、求和公式及性质构造方程（组），是解数列问题基本方法.

例2等差数列的前n项和为，若，求.

分析:解此题的关键是求出数列的通项公式,可利用已知条件列出关于和d的方程组求出基本量和d,也可用待定系数法确定.

解法1:设等差数列的首项为,公差为d,根据已知条件和等差数列的前n项和公式得

解得

∴.从而.

解法2:易知所给等差数列不是常数列,所以它的前n项和可设为,由已知条件得

解得

∴,.

3.分类讨论思想

复杂问题无法一次性解决,常需分类研究,化整为零,各个击破.数列中蕴含着丰富的分类讨论的问题.

例3已知数列的前n项和，试求数列的前n项和的表达式.

分析:解题的关键是求出数列的通项公式,并弄清数列中各项的符号以便化去的绝对值.故需分类探讨．

解:当n=1时,;

当n≥2时,

.

∴当1≤n≤9时,,当n≥10时,.从而

当1≤n≤9时,=

=;

当n≥10时,=

=

.

∴=

４.等价转化思想

等价转化就是将研究对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象,使之成为大家熟悉的或容易解决的问题.这是解决数列问题重要方法.

例4等差数列的前n项和为,.若中,最大,数列的前多少项和最大?

分析:求的最大值有多种转化方法.本题可将满足的要求转化为公差d满足的要求；再将k所满足的条件转化为它的几何意义，借助图示直接写出结果.

解:设数列的公差为d,则最大.

设的前k项和最大,则有,且,故有.（1）

,.

如图，数轴的两个阴影区间中，左边是的取值范围，右边是的取值范围，（1）的成立等价于k取两个区间之间的自然数，所以k=3，即的前3项和最大.

５.整体思想

整体思想就是从整体着眼,通过问题的整体形式、整体结构或其它整体处理后，达到简捷地解题的目的.

例5已知数列为等差数列，前12项和为354，前12项中奇数项和与偶数项和之比为27:32,求公差d.

分析:此题常规思路是利用求和公式列方程组求解，计算量较大,注意考虑用整体思想去解决,解法十分简捷.

解:由题意令奇数项和为,偶数项和为.

∵.

而.

6.递推思想

递推思想就是通过探求、构造和运用所给问题中的递推关系解决问题的思想方法.数列问题，从某种意义上讲是递推关系的表现形式.利用递推思想解决某些数列问题可体现递推思想解决问题的优越性.

例6设数列的前n项和为,若对于所有的自然数n,都有,证明数列是等差数列.

分析:证明等差数列一般考虑用等差数列的定义.这里可利用递推关系,将转换得,然后再对,的递推关系继续探求.

解:由得,

∴当n≥2时,

,

即.

同理.

两式相减得,

即,

从而有(n≥2).由此可知数列是等差数列.

数形结合，分析与综合，归纳、猜想与证明思想也是解决数列问题非常常见的思想，在上述例题中也有叙述，就不再详细介绍了。