构造法在数学解题中的应用
◎ 陕西省大荔县城郊中学 游笑
摘　要：“构造法”是常用的解决问题的思想方法,也是数学教学中培养学生创造性思维能力的主要内容．解数学题的过程就是一个不断地把未解决的问题转化为已解决的问题,把未知转化为已知的过程,这里转化是解决问题的关键,是解题的桥梁,它把已知和未知紧紧的联系在一起,而构造法就是一个实现这个转化的一种重要手段．列举的构造法有：构造方程、构造图形、构造函数、构造反例等．
关键字：构造法；反例；恒等式.
1 构造方程
构造方程,体现的是方程的观点,用方程解决某些问题会相当方便,一般可以归结为3个步骤,首先将所涉及的问题转化为方程（组）问题,然后解此方程（组）或讨论此方程（组）的有关性质（常用判别式与韦达定理）,得出相应的结论,最后将方程（组）的相应结论再返回为原问题的结论．
例1 已知 ,求证 ．
分析 已知条件提供了一个等式,我们把它转化为方程,则结论便成为方程性质的讨论,容易看出,结论与二次方程判别式非负类似,因而,应设法构造出一个二次方程有实根．
解 已知等式可化为

这表明二次方程

有实根 ,从而判别式非负,可得

２ 构造图形
构造图形可使抽象问题直观、形象,从而得到简捷的解法．
例2 直角坐标表面上,满足不等式组 的整点个数．
分析 在直线 的下部分包括直线上的点, ,在直线 上部分包括直线上的点 ,在直线 的左部分包括直线上的点．
解 直线 左部及直线上的点,且 的点有 .
上部及 轴间三角区域的点 下部及 轴三角区域上的点数一样,都是 所以点的个数是 .
该不等式组所表示的区域点数为 （个）.
由例题可以得出结论,构造图形可归结为3个步骤：
①将问题和条件表示在适当的图形上；
②讨论图形的性质,得出几何结论；
③构造几何结论返回原问题结论．
3 构造函数
通过构造函数,利用函数的性质来解题,体现了这样一个策略：将静止的问题放到一个更加波澜壮阔的动态过程中去考察；将局部的问题置于更加高瞻远瞩的全局上去解决．
例3数 、 、 满足 ,证明
.
分析 由于结论呈“判别式”非负的结构,这促使我们将条件式转化为二次函数与 轴有交点（或二次方程有实根）,构造函数的途径是多样的,下面是较简单的一种．
证明 作二次函数

取 ,有

这表明开口向上的抛物线有一点在 轴下方,从而抛物线必与 轴相交,得其判别式大于0,即

4 构造反例
反例是指用来说明某个命题不成立的例子,它与论证是相反相成的两种逻辑方法,论证是用已知为真的判断确定另一个判断的真实性,反例是用已知为真的事实去揭示另一判断的虚假性．
例4 命题“若 、 为无理数,则 也为无理数”是否成立？
解 不成立,构造反例如下：先取无理数 ,然后讨论 .
①若 为有理数,则取 ,有 是有理数,为反例；
②若 为有无数,则取 , ,
有 仍为反例．
综上可得命题不成立．
5 构造恒等式
通过恒等式处理组合数问题是大家所熟知的,下面举个例子．
例5[ 已知 ,求证 , , ,中至少有一个不小于 .
分析 只须证明
证明 引进恒等式

比较 项的系数,有




得 .
参考文献：
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